若椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦距为 2 5 ，且过点（-3，2），⊙O的圆心为

（1）由椭圆C：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1(a＞b＞0) 的焦距为 2
5 ，且过点（-3，2），∴


9
a 2 +
4
b 2 =1
2c=2
5
a 2 = b 2 + c 2 ，
解得

c=
5
b 2 =10
a 2 =15 ，
∴椭圆的方程为
x 2
15 +
y 2
10 =1 ．
（2）∵⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，∴⊙O的方程为x ² +y ² =10．
当弦PQ最大时，即PQ是⊙M的直径，
设直线PA的方程为y-6=k（x-8），即kx-y+6-8k=0．
∵直线PA与⊙O相切，∴点O到直线PA的距离d=
10 ，
∴
|6-8k|

k 2 +1 =
10 ，解得 k=
1
3 或
13
9 ．
∴直线PA的方程为
1
3 x-y+6-
8
3 =0 ，或
13
9 x-y+6-
104
9 =0 ，
化为x-3y+10=0，或13x-9y-50=0．
（3）设∠AOB=2θ，∵ θ∈(0，
π
2 ) ，∴2θ∈（0，π）．


OA •

OB = |

OA ||

OB |cos∠AOB =10cos2θ，
∵2θ∈（0，π），∴cos2θ在 θ∈(0，
π
2 ) 上单调递减，
因此当θ取得最小值时，cos2θ取得最大值．
∵cosθ=

10
OP ，∴当OP取得最小值时，cosθ取得最大值．
当P点取OM与⊙M的交点时，OP取得最小值．
又|OP|=|OM|-2=
6 2 + 8 2 -2 =8．
∴ cosθ=

10
8 ，cos2θ=2cos ² θ-1=-
11
16 ．
∴

OA •

OB 取得最大值 10×(-
11
16 ) =-
55
8 ．