函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．

解题思路：（I）利用f′（1）=0得到a，并利用极值的充分条件进行检验即可；（II）由题意可得：xlnx-ax2-x＜-x，由x＞0，可化为a＞lnxx．设h（x）=lnxx，利用导数即可得到极值及其最值；（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，可得lnxx＞ln(x+1)x+1，化为lnxx+1＞ln（x+1）x，即xx+1＞（x+1）x，令x=2012，即可证明．

（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax²-x＜-x，
∴xlnx-ax²＜0，
∵x＞0，∴a＞[lnx/x]．
设h（x）=[lnx/x]，则h′（x）=[1−lnx
x2，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极大值，即最大值，h（e）=
1/e]．
∴a＞[1/e]．
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）＞h（x+1），
∴[lnx/x＞
ln(x+1)
x+1]，化为lnx^x+1＞ln（x+1）^x，
∴x^x+1＞（x+1）^x，
令x=2012，可得2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．