求函数ln(sinx)的导数
在微积分的学习中，求解复合函数的导数是一项核心技能。对于函数 f(x) = ln(sin x)，我们需要运用链式法则来求导。首先，我们识别出这是一个复合函数：外层函数是自然对数函数 ln(u)，内层函数是三角函数 u = sin x。根据链式法则，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量x的导数。
具体计算过程如下：设 u = sin x，则原函数可写为 y = ln(u)。外层函数 ln(u) 对 u 的导数为 1/u，即 1/(sin x)。内层函数 sin x 对 x 的导数为 cos x。根据链式法则，函数 y = ln(sin x) 的导数为 dy/dx = (1/(sin x)) * (cos x) = cos x / sin x。而 cos x / sin x 在三角函数中正是余切函数 cot x。因此，我们得到最终结果：f'(x) = cot x。
定义域与注意事项
需要特别注意的是，由于原函数中包含自然对数 ln(sin x)，这要求其真数部分 sin x > 0。因此，函数的定义域是 x ∈ (2kπ, (2k+1)π)，其中 k 为任意整数。相应地，其导数 f'(x) = cot x 也只在相同的区间内有意义。理解这一点对于正确应用该导数结果至关重要，它提醒我们在求解微积分问题时，必须始终关注函数的定义域，以确保每一步运算的合法性。