线性代数 赵树嫄 第四版160页的12,13题

3A12
此题是要说明这样的结论:
若一个"大"的向量组可由一个"小"的向量组线性表示,则它线性相关.
设 k1β1+k2β2+k3β3 = 0 --找到一个非零解就可以了
则 k1(2α1-α2)+k2(α1+α2)+k3(-α1+3α2) = 0
所以 (2k1+k2-k3)α1+(-k1+k2+3k3)α2 = 0
由 2k1+k2-k3 = 0
-k1+k2+3k3= 0
得一非零解 k1=4,k2=-5,k3=3
则 4β1-5β2+3β3 = 0.
所以 β1,β2,β3 线性相关 #
注:反观此题,我们可以根据β1,β2,β3的表达式直接写出矩阵
2 1 -1
-1 1 3
对它用初等行变换化成行简化梯矩阵
1 0 -4/3
0 1 5/3
得 非零解 k1=4,k2=-5,k3=3
即有相应的结论 4β1-5β2+3β3 = 0.
3A13
证明:(α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs)= (α1,...,αs)A.
其中 A=
1 1 ...1
0 1 ...1
......
0 0 ...1
因为|A| = 1 ≠ 0
所以 A 可逆
所以有 r(α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs)
= r((α1,...,αs)A)
= r(α1,...,αs)
= s.
所以 α1,α1+α2,...,α1+α2+...+αs 线性无关.
PS.请一题一问