根据函数极限定义证明：函数f(x)当xn时极限存在的充要条件是左极限,右极限各自存在并且相等.

liu6252101_jing 1年前 已收到2个回答 举报
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Paladine 幼苗

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等一下

1年前 追问

9

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充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)=A，lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0同理，此时有：-δ
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liu6252101_jing 举报

那必要性呢？

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按照严格的极限定义证明如下
证明
x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε
所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足
|x-x0|<δ时
-εx0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

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这下可以了吧，亲

liu6252101_jing 举报

可你证的还是充分性啊！只是换了个说法而已。

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啊啊？我真的想哭了，我已经尽力了，就凭我给你写了这么多，我觉得你也得给我好评吧，亲，求求你了

言天 幼苗

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等一下充分性：（已知左右极限存在且相等，证明极限存在）
设lim[x→x0+] f(x)=A，lim[x→x0-] f(x)=A
由lim[x→x0+] f(x)=A，则对于任意ε>0，存在δ1>0，当00，当 -δ2x0，则0<|x-x0|<δ≤δ1成立，
若x0，存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立
此时有：0

1年前

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