已知直线C{X=1+tcosa,y=tsina},过作坐标原点O作直线C的垂线,垂足为A,点p为线段OA的中点,当a变化

答案：圆（X - (1/4)）^2 + Y^2 = 1/16 .（X- 在分式1/4外面）
参数方程就先消参.当a 不等于 π/2,3π/2时（这里只讨论a在[0, 2π]内变化的情况）,
y = x*tan(a) - tan(a),
当a = π/2,(x,y) = (1, t)以及 x = 1这条垂直于x轴的直线（t可以取任意数值）；
当a = 3π/2,(x,y) = (1, -t)以及 x = 1这条垂直于x轴的直线（t可以取任意数值）；
（之所以要讨论这个角度是因为消参的时候分母cosa要不为零才可以）
以上两种情况可以合并为一种.
下面讨论 y = x*tan(a) - tan(a) 时的情况,A点在其上所以必然满足这个关系.另外,OA的斜率必须是-cot(a),因为OA垂直于该直线,所以OA的方程为：
y = -x*cot(a),a不等于0,π. 联立两条直线方程,求出A点坐标为：
x = tan(a) / (tan(a) + cot(a)), y = -1/ (tan(a) + cot(a)).
于是p点坐标为 (tan(a)/ [2(tan(a) + cot(a))], -1/ [2(tan(a) + cot(a))] ),或：
Xp = tan(a)/ [2(tan(a) + cot(a))];
Yp = -1/ [2(tan(a) + cot(a))].
很明显 - Xp/Yp = tan(a),代入第二个方程后可以解出cot(a) = -1/(2Yp) + Xp/Yp.根据tan(a)cot(a)=1,就有（^2是平方）：
- Xp/Yp * [-1/(2Yp) + Xp/Yp] = 1,推出：
（Xp - 1/4）^2 + Yp^2 = 1/16,这是一个圆.
当a = 0或者π的时候,容易验证直线C就是y = 0即x轴,所以A点和p点都是原点.原点显然满足上述圆方程,而且,当a 不等于 π/2,3π/2时,C即x = 1,所以p (1/2, 0),代入这个方程也是满足的.所以最终答案为：
（X - 1/4）^2 + Y^2 = 1/16 .