已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．

解题思路：（1）先求出函数f（x）的导函数，根据在x=1处的导数等于切线的斜率建立等量关系，以及切点在曲线上建立等式关系，解之即可．
（2）由题意可得k＜

x2

2

−xlnx．令g（x）=

x2

2

−xlnx，则利用导数判断函数的单调性，求出函数g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），又 x=1时f（x）＜0也成立，所以当x≥1时，lnx＜[x/2]，于是ln1＜

1

2

，ln2＜[2/2]，ln3＜[3/2]，…，lnn＜[n/2]，
上述各式相加即可得出结论．

（1）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=[a/x+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为
1
2]，且曲线y=f（x）过点（1，-[1/2]），
∴

f(1)＝−
1
2
f′(1)＝
1
2，即

b＝−
1
2
a+b＝
1
2，解得a=1，b=-[1/2]．
所以 f（x）=lnx-[x/2]．
（2）由（1）得当x＞1时，f（x）+[k/x]＜0恒成立即 lnx-[x/2]+
k
x＜0，
等价于k＜
x2
2−xlnx．
令g（x）=
x2
2−xlnx，则g′（x）=x-（lnx+1）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-[1/x]=[x−1/x]．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=[1/2]．
因此，当x＞1时，k＜
x2
2−xlnx．恒成立，则k≤
1
2．
∴k的取值范围是（-∞，[1/2]]．
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，f（x）＜0（k=0），
又 x=1时f（x）＜0也成立，
所以当x≥1时，lnx＜[x/2]，于是
ln1＜
1
2，ln2＜[2/2]，ln3＜[3/2]，…，lnn＜[n/2]，
上述各式相加得，ln（1×2×3×…×n）＜[1+2+3+…+n/2]，
即lnn!＜
n(n+1)
4，∴n!＜e
n(n+1)
4．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．