（2014•孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、

（1）证明：连接OD；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF过点D，
∴EF是⊙O的切线．

（2）连接BD，CD；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
设BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切线，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴[CF/CD]=[BD/AB]，[CF/DF]=[DF/AF]；
∵sin∠ABC=[AC/AB]=[3/4]，
∴设AC=3x，AB=4x，
∴[1/a]=[a/4x]，则a²=4x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF²=CD²-CF²=4x-1；
又∵[CF/DF]=[DF/AF]，
∴4x-1=1×（1+3x），
∴x=2，
∴AB=4x=8，AC=3x=6；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴[AB/AE]=[AC/AF]，[8/AE]=[6/7]，AE=[28/3]，
∴在Rt△AEF中，EF=
AE2−AF2=
(
28
3)2−72=
7

点评：
本题考点： 切线的判定．

考点点评： 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．