∫(0,x)f（t）dt-∫（-x,0）f（t）dt是周期函数的证明
∫(0,x)f（t）dt-∫（-x,0）f（t）dt是周期函数的证明
f（x）是在R上以T为周期的连续函数,证明∫(0,x)f（t）dt-∫（-x,0）f（t）dt也是以T为周期的函数
f（x）是在R上以T为周期的连续函数,证明∫(0,x)f（t）dt-∫（-x,0）f（t）dt也是以T为周期的函数
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记F(x)=∫(0,x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt,则
F(x+T)=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-(x+T),0) f(t)dt
=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,0) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt
=F(x)+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt,
其中∫(x,x+T) f(t)dt和∫(-x-T,-x) f(t)dt都是f(t)在长为周期T的区间上的积分,所以两者相等,所以
F(x+T)=F(x),
从而F(x)也是以T为周期的函数.
F(x+T)=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-(x+T),0) f(t)dt
=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,0) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt
=F(x)+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt,
其中∫(x,x+T) f(t)dt和∫(-x-T,-x) f(t)dt都是f(t)在长为周期T的区间上的积分,所以两者相等,所以
F(x+T)=F(x),
从而F(x)也是以T为周期的函数.
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