如图，正三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 的各棱长都相等， D 、 E 分别是 CC 1 和 AB 1 的中点

(1)证明 连结 EM 、 MF ，∵ M 、 E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB ₁ 的中点，
∴ BB ₁ ∥ ME ，又 BB ₁ 平面 EFM ，∴ BB ₁ ∥平面 EFM
(2)证明 取 BC 的中点 N ，连结 AN 由正三棱柱得 AN ⊥ BC ，
又 BF ∶ FC =1∶3，∴ F 是 BN 的中点，故 MF ∥ AN ，
∴ MF ⊥ BC ，而 BC ⊥ BB ₁ ， BB ₁ ∥ ME
∴ ME ⊥ BC ，由于 MF ∩ ME = M ，∴ BC ⊥平面 EFM ，
又 EF 平面 EFM ，∴ BC ⊥ EF
(3)解 取 B ₁ C ₁ 的中点 O ，连结 A ₁ O 知， A ₁ O ⊥面 BCC ₁ B ₁ ，由点 O 作 B ₁ D 的垂线 OQ ，垂足为 Q ，连结 A ₁ Q ，由三垂线定理， A ₁ Q ⊥ B ₁ D ，故∠ A ₁ QD 为二面角 A ₁ — B ₁ D — C 的平面角，易得∠ A ₁ QO =arctan

见详解