（2012•锦州）如图，抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．

解题思路：（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．

（1）∵抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为[10/3]，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（-1，-[10/3]）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，-[10/3]）代入抛物线y=ax²+bx-3中，有：


4a−2b−3＝−3
a−b−3＝−
10
3，解得

a＝
1
3
b＝
2
3
∴抛物线的表达式为y=[1/3]x²+[2/3]x-3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y=[1/3]x²+[2/3]x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
∵直线y=[3/4]x+m过点D（4，5）
∴5=[3/4]×4+m，则 m=2；
∴所求直线的表达式y=[3/4]x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x，[3/4]x+2），则：OM²=[25/16]x²+3x+4、FM²=[25/16]x²；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴[3/4]x+2=1，x=-[4/3]；即点M的坐标（-[4/3]，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则：[25/16]x²=4，x₁=[8/5]、x₂=-[8/5]
代入y=[3/4]x+2中，得：y₁=[16/5]、y₂=[4/5]；
即点M的坐标（[8/5]，[16/5]）或（-[8/5]，[4/5]）；
②OM=OF=2，则：[25/16]x²+3x+4=4，x₁=0（舍）、x₂=-[48/25]
代入y=[3/4]x+2中，得：y=[14/25]；
即点M的坐标（-[48/25]，[14/25]）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-[4/3]，1）、（[8/5]，[16/5]）、（-[8/5]，[4/5]）、（-[48/25]，[14/25]）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查的知识点有：利用待定系数法确定函数解析式、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质等．最后一题容易漏解，一定要根据菱形顶点排列顺序的不同进行分类讨论．