已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2=4上运动．

解题思路：（1）设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹；
（2）由题意可知L的斜率存在，设出其斜率，结合CA⊥CD，由弦心距和半径的关系得到弦心距，再由圆心到直线的距离公式列式求出直线L的斜率．

解（1）设A（x₁，y₁），M（x，y），
由中点公式得x₁=2x-1，y₁=2y-3
因为A在圆C上，所以（2x）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-1.5）²=1．
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（-1，0）到L的距离为
2．
由点到直线的距离公式得
|-k-k+3|

k2+1=
2，
∴4k²-12k+9=2k²+2
∴2k²-12k+7=0，解得k=3±

22
2．

点评：
本题考点： 轨迹方程；直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程问题，考查了利用代入法求曲线的方程，解答的关键是正确利用直线和圆的位置关系，是中档题．

用相关点法。设M（x，y）则A（2x-1,2y-3）带入圆C即得
k不存在显然不满足条件。设y-3=k(x-1)带入圆C得含参变元k的二次方程
（设交点（x1,y1）(x2,y2).则由CA垂直CD，知想x1x2+x1+x2+y1y2+1=0
由韦达定理，可推知各项与k得某函数关系，然后解该关于k的方程即可...