(2013•牡丹江一模)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.

(2013•牡丹江一模)已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=3,求数列{
1
bn
}
的前n项Tn
木卯女口火因 1年前 已收到1个回答 举报

hhw0310 幼苗

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解题思路:(I)设等差数列{an}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,进而根据等差数列的通项公式和求和公式分别求得an及前n项和Sn
(II)根据(I)中的an和b1,根据bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…(b2-b1)+b1,进而求得bn,再利用裂项法求得{
1
bn
}

(I)设等差数列{an}的公差为d,


6a1+15d=60
a1(a1+20d)=(a1+5d)2
解得

d=2
a1=5.
∴an=2n+3.
Sn=
n(5+2n+3)
2=n(n+4)
(II)由bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*).
当n≥2时bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…(b2-b1)+b1
=an-1+an-2++a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3
=n(n+2)
对b1=3也适合∴bn=n(n+2)(n∈N*

1
bn=
1
n(n+2)=
1
2(
1
n−
1
n+2).
Tn=
1
2(1−
1
3+
1
2−
1
4++
1
n−
1
n+2)=
1
2(
3
2−
1
n+1−
1
n+2)
=

点评:
本题考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前n项和;数列的求和.

考点点评: 本题主要考查等差数列的性质和用裂项法求和,注意由数列的性质,来确定求和的方法.

1年前

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