设{a n }是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记 b n = n S n n 2 +c

证明：（1）若c=0，则a _n =a ₁ +（n-1）d， S n =
n[(n-1)d+2a]
2 ， b n =
n S n
n 2 =
(n-1)d+2a
2 ．
当b ₁ ，b ₂ ，b ₄ 成等比数列时，则 b 2 2 = b 1 b 4 ，
即： (a+
d
2 ) 2 =a(a+
3d
2 ) ，得：d ² =2ad，又d≠0，故d=2a．
因此： S n = n 2 a ， S nk =(nk ) 2 a= n 2 k 2 a ， n 2 S k = n 2 k 2 a ．
故： S nk = n 2 S k （k，n∈N*）．
（2） b n =
n S n
n 2 +c =
n 2
(n-1)d+2a
2
n 2 +c
=
n 2
(n-1)d+2a
2 +c
(n-1)d+2a
2 -c
(n-1)d+2a
2
n 2 +c
=
(n-1)d+2a
2 -
c
(n-1)d+2a
2
n 2 +c ．①
若{b _n }是等差数列，则{b _n }的通项公式是b _n =A _n +B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
c
(n-1)d+2a
2
n 2 +c =0 ，即 c
(n-1)d+2a
2 =0 ，而
(n-1)d+2a
2 ≠0 ，
故c=0．
经检验，当c=0时{b _n }是等差数列．