大一 图中4、5、8题

4 原通项可以拆成两项,即an=1/[(n-1)!*2^(n-1)]+1/(n!*2^n)（n不为0）,故原级数等于两个级数之和,凑项后易知为1/(n!*2^n）的级数（记为A）的2倍.但A 是e^x在1/2的展开式,故所求的和为2e^(1/2).
5 注意到n!/2^(n^2)*sin(Pi/2^n)的绝对值不超过n!/2^(n^2),对后者的级数用比值判别法知后项与前项的比等于(n+1)/2^(2n+1),极限为0,小于1,故后一个级数收敛,因此由比较判别法知,原级数绝对收敛.
8 两边先取对数,得ylnz=zlnx,用复合函数求导法则：
两边对x求导,合并同类项得,zx（x为下标）=(z/x)/(y/z-lnx)；
两边对y求导,合并同类项得,zy（y为下标）=(lnz)/(lnx-y/z).