求证:m^4+4n^4一定可以表示为k个正整数的平方和(k≥3,m,n∈正整数)
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求证：m^4+4n^4一定可以表示为k个正整数的平方和（k≥3,m、n∈正整数）
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赞 冬雷夏雨 幼苗
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一、当m＝n时,
m^4＋4n^4＝5m^4＝（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2.
此时,命题显然成立.
二、当m、n不等时,
m^4＋4n^4
＝m^4＋4（mn）^2＋4n^4－4（mn）^2
＝（m^2＋2n^2）^2－4（mn）^2
＝［（m^2＋2n^2）＋2mn］［（m^2＋2n^2－2mn］
＝［（m^2＋2mn＋n^2）＋n^2］［（m^2－2mn＋n^2）＋n^2］
＝［（m＋n）^2＋n^2］［（m－n）^2＋n^2］
＝［（m＋n）（m－n）］^2＋［（m＋n）n］^2＋［（m－n）n］^2＋（n^2）^2.
此时,命题也显然成立.
于是,问题得证.
m^4＋4n^4＝5m^4＝（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2＋（m^2）^2.
此时,命题显然成立.
二、当m、n不等时,
m^4＋4n^4
＝m^4＋4（mn）^2＋4n^4－4（mn）^2
＝（m^2＋2n^2）^2－4（mn）^2
＝［（m^2＋2n^2）＋2mn］［（m^2＋2n^2－2mn］
＝［（m^2＋2mn＋n^2）＋n^2］［（m^2－2mn＋n^2）＋n^2］
＝［（m＋n）^2＋n^2］［（m－n）^2＋n^2］
＝［（m＋n）（m－n）］^2＋［（m＋n）n］^2＋［（m－n）n］^2＋（n^2）^2.
此时,命题也显然成立.
于是,问题得证.
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