(2009•南通二模)已知函数y=f(x)=[lnx/x].

(2009•南通二模)已知函数y=f(x)=[lnx/x].
(1)求函数y=f(x)的图象在x=[1/e]处的切线方程;
(2)求y=f(x)的最大值;
(3)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.
高峨 1年前 已收到1个回答 举报

NIKE小鸟 幼苗

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解题思路:(1)利用导数的几何意义:导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率,求出切线方程.
(2)令导函数为0求出根,判断根左右两边的导函数符号,判断出函数的单调性,求出函数的最值.
(3)利用(2)的结论,判断出函数的最大值在e处取得;最小值在端点处取得;通过对a的分类讨论比较出两个端点值的大小,求出最小值.

(1)∵f(x)定义域为(0,+∞),∴f′(x)=[1−lnx
x2
∵f(
1/e])=-e,又∵k=f′([1/e])=2e2
∴函数y=f(x)的在x=处的切线方程为:
y+e=2e2(x-[1/e]),即y=2e2x-3e.
(2)令f′(x)=0得x=e.
∵当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,则在(e,+∞)上为减函数,
∴fmax(x)=f(e)=[1/e].
(3)∵a>0,由(2)知:
F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min=min{F(a),F(2a)},
∵F(a)-F(2a)=[1/2]ln[a/2],
∴当0<a≤2时,F(a)-F(2a)≤0,fmin(x)=F(a)=lna.
当a>2时,F(a)-F(2a)>0,f(x)min=f(2a)=[1/2]ln2a.

点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查导数的几何意义:导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、函数的单调性与导函数符号的关系、
利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法.

1年前

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