如图1所示,直线y=2x+b与X轴交于点E,与Y轴交于点A,△AOE的面积为4,点D是直线AE在第一象限上的一点,

依题意,可求得点E和点A的坐标为E(-b/2,0),A(0,b)
△AOE的面积=½│OE│·│OA│=½│-b/2│·│b│=b²/4=4
解之,得b=±4,从图判断b=-4不合题意,∴b=4
过点D作DF垂直于x轴于F,过点C作CH垂直于DF于H
由⑴可知OE=2,OA=4 ∴AE=√(2²+4²)=2√5
∵在△DEF中AD=AE ∴OF=OE=2,DF=2OA=2×4=8
又∵等腰Rt△ADC中AD=CD,∠ADC=Rt∠
∴CD=2√5,直线CD的斜率为-1/2,即tan∠DCH=│-1/2│=1/2
∴在Rt△CDH中易求得DH=CD·sin∠DCH=2√5·(1/√5)=2
CH=CD·cos∠DCH=2√5·(2/√5)=4
∴点C的x坐标为CH+OF=4+2=6
y坐标为DF-DH=8-2=6
即点C(6,6)
∵等腰Rt△ADC中AD=CD ∴∠DAC=45°
由直线y=2x+4可知tan∠AEO=2
结合图二可知直线AC的斜率
k=tan(∠AEO-∠DAC)=(tan∠AEO-tan∠DAC)/(1+tan∠AEO·tan∠DAC)
=(2-1)/(1+2)=1/3
由⑴知,点A(0,4)
所以直线AC的方程为:y=(1/3)x+4
令y=0,求得x=-12
所以点P(-12,0)
由直线AC的方程可知,点P不会随点D的运动而改变.