已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点

解题思路：（1）根据右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，且|MF₂|=[5/3]，可求出F₂，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C₁的方程；
（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，[1/7]），可求出BD的方程，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线ACy=-x+m，联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得AC的中点，在直线BD上，可求直线AC的方程；②ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面积的最大值，转化为求弦AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可．

（1）设M（x₁，y₁）∵F2(1，0)|MF2| ＝
5
3．
由抛物线定义，x1+1＝
5
3，∴x1＝
2
3∵
y21＝4x1，∴y1＝
2
6
3．
∴M(
2
3，
2
6
3)∵M在c₁上，[4
9a2+
8
3b2＝1，又b²=a²-1
∴9a⁴-37a²+4=0∴a²=4或a2＝
1/9＜c2舍去．
∴a²=4，b²=3
∴椭圆c₁的方程为
x2
4+
y2
3＝1．
（2）①直线BD的方程为y＝x+
1
7]
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由

点评：
本题考点： 圆锥曲线的综合．

考点点评： 此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．