在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图

（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
∴点B的坐标为（-3，1）；（4分）

（2）抛物线y=ax ² +ax-2经过点B（-3，1），
则得到1=9a-3a-2，（5分）
解得a=
1
2 ，
所以抛物线的解析式为y=
1
2 x ² +
1
2 x-2；（7分）

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P ₁ ，使得P ₁ C=BC，得到等腰直角三角形△ACP ₁ ，（8分）
过点P ₁ 作P ₁ M⊥x轴，
∵CP ₁ =BC，∠MCP ₁ =∠BCD，∠P ₁ MC=∠BDC=90°，
∴△MP ₁ C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P ₁ M=BD=1，可求得点P ₁ （1，-1）；（11分）
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP ₂ ⊥CA，且使得AP ₂ =AC，得到等腰直角三角形△ACP ₂ ，（12分）
过点P ₂ 作P ₂ N⊥y轴，同理可证△AP ₂ N≌△CAO，（13分）
∴NP ₂ =OA=2，AN=OC=1，可求得点P ₂ （2，1），（14分）
③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP=AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P ₂ ；
点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P ₃ ．因此，然后过P ₃ 作P ₃ G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，
∴GP ₃ =OA=2，AG=OC=1，
∴P ₃ 为（-2，3）；
经检验，点P ₁ （1，-1）与点P ₂ （2，1）都在抛物线y=
1
2 x ² +
1
2 x-2上，点P ₃ （-2，3）不在抛物线上．（16分）

1年前