如图, 在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AA 1 ＝4，点 D 是 A

解法一：（I）直三棱柱 ABC － A ₁ B ₁ C ₁ ，底面三边长 AC =3， BC =4 AB =5，



∴ AC ⊥ BC ，且 BC ₁ 在平面 ABC 内的射影为 BC ，∴ AC ⊥ BC ₁ ；

（II）设 CB ₁ 与 C ₁ B 的交点为E，连结DE，∵ D是 AB 的中点，E是 BC ₁ 的中点，∴ DE// AC ₁ ，∵ DE 平面 C D B ₁ ， AC ₁ 平面 C D B ₁ ，∴ AC ₁ //平面 C D B ₁ ；

解法二：∵直三棱柱 ABC － A ₁ B ₁ C ₁ 底面三边长 AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5，∴ AC 、 BC 、 C ₁ C 两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA 、 CB 、 C ₁ C 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0）， A （3,0，0）， C ₁ （0,0，4）， B （0,4，0）， B ₁ （0,4，4），D（ ，2,0）

（1）∵ ＝（－3,0，0）， ＝（0，－4,0），∴ • ＝0，∴ AC ⊥ BC ₁ .

（2）设 CB ₁ 与 C ₁ B 的交战为E，则E（0,2，2）.∵ ＝（－ ，0,2）， ＝（－3,0，4），∴ ，∴DE∥ AC ₁ .


（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.
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