尼莫茨菇 春芽
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解(1)因为函数f(x)是实数集R上的奇函数,所以对任意的x∈R,都有f(-x)=-f(x).
所以f(-1)=-f(1).
因为当x>0时,f(x)=log2x+x-3,所以f(1)=log21+1-3=-2.
所以 f(-1)=-f(1)=2.…(3分)
(2)当x=0时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得f(0)=0;
当x<0时,-x>0,所以f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3.
所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而f(x)=-log2(-x)+x+3.
所以f(x)=
−log2(−x)+x+3,x<0
0,x=0
log2x+x−3,x>0(6分)
(3)证明:因为f(2)=log22+2-3=0,所以方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有解x=2.
又方程f(x)=0可化为log2x=3-x.
设函数g(x)=log2x,h(x)=3-x.
由于g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,
所以,方程g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解.
所以,方程f(x)=0在区间(0,+∞)上有唯一解.…(10分)
说明:指出有解(2分),指出单调性(2分).
点评:
本题考点: 对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合.
考点点评: 本题主要考查了利用赋值求解函数值及奇函数的性质求解函数解析式,利用函数的单调性判断方程根的个数,属于函数知识的综合应用
1年前
1.已知函数F(x)定义实数集R上为偶函数,且对任意实数X都有
1年前2个回答
你能帮帮他们吗
精彩回答
8个月前
1年前
1年前
1年前