已知椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．

（1）．设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得



x 21
9 +

y 21
4 =1①


x 22
9 +

y 22
4 =1②
又∵P（2，1）是AB的中点，∴

x 1 + x 2 =4
y 1 + y 2 =2 ．
由①-②得
( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 )
9 +
( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 )
4 =0 ，
∴k=
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =-
8
9 ．
∴直线AB的方程为y-1=-
8
9 （x-2），即8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．
∵k _OP =
1
2 ，∴k _AB =-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即2x+y-5=0．
联立方程组

2x+y-5=0

x 2
9 +
y 2
4 =1 得 40x ² -180x+189=0，
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），则

x 1 + x 2 =
9
2
x 1 x 2 =
189
40 ，
∴|AB|=
1+ k 2
( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 =
3
2
3 ．
∴S _△AOB =
1
2 |OP||AB|=
3
4
15 ．