已知函数f（x）=loga[x+b/x−b]（a＞0，a≠1，b＞0）．

解题思路：（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式即可得到f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质，可证出f（-x）=-f（x），得f（x）为奇函数；
（3）设b＜x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差化简整理，可得：当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0；当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此结合函数单调性的定义即可得到函数在（b，+∞）上的单调性．同理可得函数在区间（-∞，-b）上的单调性，从而得到本题答案．

（1）因为[x+b/x−b＞0，解之得x＜-b或x＞b，
∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
f（-x）=log_a
−x+b
−x−b]=log_a[x−b/x+b]，
∵-f（x）=log_a（[x+b/x−b]）^-1=log_a[x−b/x+b]，
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（3）证明：设b＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=log_a
(x1+b)(x2−b)
(x2+b)(x1−b)，
∵
(x1+b)(x2−b)
(x2+b)(x1−b)-1=
2b(x2−x1)
(x2+b)(x1−b)＞0
∴当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．
综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性．着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．