微积分-中值定理f是可导函数,f(0)=0 和 f(1)=1 证明 存在x 使得f'(x)=2x 当x属于(0,1)

waltjj 1年前 已收到4个回答 我来回答 举报

jianghuahong 幼苗

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纠正一楼的问题:
f是可导函数,f(0)=0 和 f(1)=1
则存在x 使得f'(x)=(1-0)/(1-0)=1,当x属于(0,1).
那儿来的的 f(x)'=2x?
f是可导函数,必然连续,f(0)=0 和 f(1)=1,根据介值定理,存在X属于(0,1),使F(X)=X.
由Lagrange中值定理,存在ξ满足(0,1)时,使f'(ξ)=(1-0)/(1-0)=1,此处
ξ是一个特值,而不是函数,所以当ξ满足(0,1/2)时,2ξ满足(0,1)
再结合介值定理,就可能使f'(ξ)=2ξ.
证明如下:
设F(x)=f(x)-x^2,g(x)在(0,1)满足ROLLE中值定理,因此存在x属于(0,1)使g'(x)=0即f'(x)=2x

1年前

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愚猪 幼苗

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微粉中值定理是:
f是可导函数,f(0)=0 和 f(1)=1
则存在x 使得f'(x)=(1-0)/(1-0)=1, 当x属于(0,1).
那儿来的的 f(x)'=2x?

1年前

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genetics71 幼苗

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记g(x)=x^2
由柯西中值定理。
存在0f'(x)/g'(x)=(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))=(1-0)/(1-0)=1
从而f'(x)=2x

1年前

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娇我爱你 幼苗

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证明:设g(x)=f(x)-x^2,g(x)在(0,1)满足Lagrange中值定理,因此存在x属于(0,1)使g'(x)=0即f'(x)=2x

1年前

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