微积分-中值定理f是可导函数,f(0)=0 和 f(1)=1 证明 存在x 使得f'(x)=2x 当x属于（0,1)

纠正一楼的问题:
f是可导函数,f(0)=0 和 f(1)=1
则存在x 使得f'(x)=(1-0)/(1-0)=1,当x属于（0,1).
那儿来的的 f(x)'=2x?
f是可导函数,必然连续,f(0)=0 和 f(1)=1,根据介值定理,存在X属于（0,1）,使F（X）=X.
由Lagrange中值定理,存在ξ满足（0,1）时,使f'(ξ)=(1-0)/(1-0)=1,此处
ξ是一个特值,而不是函数,所以当ξ满足（0,1/2）时,2ξ满足（0,1）
再结合介值定理,就可能使f'(ξ)=2ξ.
证明如下：
设F(x)=f(x)-x^2,g(x)在(0,1)满足ROLLE中值定理,因此存在x属于(0,1)使g'(x)=0即f'(x)=2x

微粉中值定理是:
f是可导函数，f(0)=0 和 f(1)=1
则存在x 使得f'(x)=(1-0)/(1-0)=1, 当x属于（0，1).
那儿来的的 f(x)'=2x?

记g(x)=x^2
由柯西中值定理。
存在0f'(x)/g'(x)=(f(1)-f(0))/(g(1)-g(0))=(1-0)/(1-0)=1
从而f'(x)=2x

证明：设g(x)=f(x)-x^2,g(x)在(0,1)满足Lagrange中值定理，因此存在x属于(0,1)使g'(x)=0即f'(x)=2x