线代高手进,问个实际的问题行列式的本质是什么?为什么要定义成那么怪的形式?还有他映射了现实生活中的那些东西?请从本质上说

从抽象一点的角度看,行列式det本质是一个定义域为n阶方阵的函数,并且满足如下三个条件：（请注意,n阶方阵可以看作n个n维的列向量）
(1).列线性.即此函数关于列向量是线性的.
(2).反对称.即此函数关于列向量反对称,也就是说交换相邻两列,det变为相反数.
(3).det(I)=1.
可以证明,满足这三个条件的函数是存在且唯一的,就是行列式函数.这个可以作为行列式的定义,虽然有点抽象,但这种观点较高,反映了更深的本质.另外,定义中的"列"都换成"行“也是可以的~
行列式的直观意义其实很明显.把n阶方阵看作n个n维的向量（列或行均可）,它的行列式刻画了这n个向量”张成“的平行多面体的”n维有向体积".它的一个推论就是：一方阵满秩当且仅当其行列式非0.
以n=2或3为例,当n=2时,2阶方阵的行列式就相当于它的2个列向量（或行向量）张成的平行四边形的有向面积.而当n=3时,3阶方阵的行列式就相当于它的3个列向量（或行向量）张成的平行六面体的有向体积,也就是这三个向量的混合积.
以上是比较好理解的直观,下面说的一些或许LZ暂时理解起来有难度~
方阵可以看做线性变换的一种表示（取定一组基后）.按这种观点,行列式是这个线性变换对体积元的拉伸或压缩系数.所以在多元定积分上,对积分变量做变换以后要乘上该变换行列式的绝对值.
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至于和绝对值符号一样,这绝对是个意外……形式怪嘛,这个木有办法:( 谁让你非要写成全展开式呢~其实用多了也就不觉得怪了.
多说几句~LZ能提出这样的问题是非常赞的!说明很善于思考.估计你用的线性代数/高等代数的教材是一上来就讲行列式那种,也没有说它的直观意义和深层次背景.如果想了解得稍深一点,不妨看看北大版《高等代数简明教程》一书（蓝以中著）,此书作为入门教材观点高一些,那里就是按我说的抽象的方法定义行列式的.不止如此,那本书比较重视线性映射与线性变换,对于线性代数整体的理解也很有帮助.

这个问题…呵呵，行列式的本质应该是对一组取值为标量的线性函数的线性运算。说实话，每一个刚学行列式的学生都对他的定义不理解……有什么办法…他看起来是很抽象的一个问题，其实，他比高数简单多了，做题做多了，你就会发现他的题目类型很固定，套路更是固定的。
你如果问他在现实生活中的映射，你们可能接触的还很基础，行列式在生活中还是有用的，比如，工厂生产了一批各种厚度的钢材，让你估算最优取厚范围，就能用...

行列式其实是线性方程线的系数，列成行列式可以方便多元线性方程线求解的探讨。
映射了现实生活中多元方程求解及最优解