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春芽
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1+2+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+……+n^3=[n^2*(n+1)^2]/4
思路:设S=1^2+2^2+……+n^2
利用恒等式(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1,把左边用立方差公式展开就证明了.
设k=1,2,……,n分别代入上式得
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
…………………………
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3n+1
把上面共n个等式左右分别相加,得
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3(1+2+……+n)+n
=3S+(3/2)n(n+1)+n
解出S=n(n+1)(2n+1)/6
同理利用(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1可求出立方和公式.留给楼主思考.
1年前
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