设f(x)在[0,1]上连续且可导,k为正整数,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)

设f(x)在[0,1]上连续且可导,k为正整数,证明至少存在一点ξ属于(0,1)使得ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)成立
上海交通大学高等数学习题与精解第四章习题第一题

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漏条件了吧. 就给的条件, 常值函数 f(x) = 1 就是一个反例.
如果加上 f(0) = 0, 则结论成立.
设 g(x) = (x-1)^k * f(x)
于是 g(0)=g(1)=0, 由中值定理, 存在一点ξ属于(0,1)使得
g'(ξ)=0, 计算 g'(ξ), 由其=0 可得：
ξf'(ξ)+kf(ξ)=f'(ξ)

1年前

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