已知f（x）=-4+1x2数列{an}的前n项和为Sn，点Pn( an，−1an+1)在曲线y=f（x）上（n

解题思路：（Ⅰ）由-

1

an+1

＝f(an) ＝−

4+ 1 an2

，且a_n＞0，知

1

an+1

＝

4+ 1 an2

，由此知 an2＝

1

4n−3

，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（I）中求出的数列的通项公式代入

Tn+1

an2

＝

Tn

an+12

+16n2−8n−3中，化简后得到

Tn+1

4n+1

−

Tn

4n−3

＝1，设

Tn

4n−3

＝cn，则上式变为c_n+1-c_n=1，得到{c_n}是等差数列．求出{c_n}的通项公式，
代入即可求得T_n的通项公式，然后利用b_n=T_n-T_n-1即可得到数列{b_n}的通项公式．
（III）由 an＝

1

4n−3

，知 an＝

2

2 4n−3

＞

2

4n−3 + 4n+1

=

4n+1 − 4n−3

2

，由此能够证明S_n＞[1/2]

4n+1

-1，n∈N^*．

（Ⅰ）-
1
an+1＝f(an) ＝−
4+
1
an2，且a_n＞0，
∴
1
an+1＝
4+
1
an2，
∴
1
an+12−
1
an2＝4(n∈N+)，
∴数列{
1
an2}是等差数列，首项
1
a12公差d=4
∴
1
a12＝1+4(n−1)
∴an2＝
1
4n−3
∵a_n＞0
∴an＝
1

4n−3(n∈N+)（4分）（6分）
（Ⅱ）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴
Tn+1
4n+1

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，会确定一个数列为等差数列，是一道综合题．解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．