已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项．

解题思路：（1）利用a_n是n与S_n的等差中项，以及a_n=s_n-s_n-1，推出a_n=2a_n-1+1（n≥2）即可；
（2）利用（1）直接推出数列{a_n+1}为等比数列；
（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{a_n}的前n项和S_n．

（1）证明：∵a_n是n与S_n的等差中项，
∴2a_n=n+S_n①
于是2a_n-1=n-1+S_n-1（n≥2）②
①-②得2a_n-2a_n-1=1+a_n
∴a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由a_n=2a_n-1+1得 a_n+1=2（a_n-1+1）
∴
an+1
an−1+1＝2
当n=1时，2a₁=1+S₁即 2a₁=1+a₁
∴a₁=1，a₁+1=2
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）∵a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴Sn＝(21+22+…+2n)−n＝
2(1−2n)
1−2−n＝2n+1−2−n

点评：
本题考点： 等差数列的性质；等比数列的前n项和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的判断，通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力．