设f（x）在（-1，1）内可微，且f′（0）=0，f″（0）=4，则limx→0f(x)−f[ln(1+x)]x3=__

解题思路：由于题设只告诉f（x）在x=0处有二阶导，不能确定是否有三阶导数；而极限的形式，如果要用洛必达法则计算，则需要使用三次，因此不能使用洛必达法则．为了利用f′（0）=0，f″（0）=4，对极限函数的分子使用拉格朗日中值定理，对ln（1+x）使用麦克劳林展式，来计算极限．

lim
x→0
f(x)−f[ln(1+x)]
x3＝
lim
x→0
f′(ξ)[x−ln(1+x)]
x3
=
lim
x→0
f′(ξ)
ξ•
ξ
x•
x−[x−
x2
2+o(x2)]
x2＝
1
2f″(0)
lim
x→0
ξ
x，
其中，ξ介于x与ln（1+x）之间，即
1＜
ξ
x＜
ln(1+x)
x或
ln(1+x)
x＜
ξ
x＜1，
由夹逼定理，得
lim
x→0
ξ
x＝1．
∴
lim
x→0
f(x)−f[ln(1+x)]
x3=
1
2f″(0)＝2

点评：
本题考点： 夹逼定理．

考点点评： 此题考查了麦克劳林展式和拉格朗日中值定理在极限求解中的运用，以及用夹逼定理来推导极限．灵活性较强，综合性也比较强．