设两个向量e 1 ，e 2 ，满足|e 1 |＝2，|e 2 |＝1，e 1 与e 2 的夹角为 .若向量2te 1 ＋
| 设两个向量e 1 ，e 2 ，满足|e 1 |＝2，|e 2 |＝1，e 1 与e 2 的夹角为  .若向量2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角，求实数t的范围． |
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－7
且t≠－
【错解分析】∵2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角，
∴(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0，
∴2t 2 ＋15t＋7<0，解之得：－7 ，
∴t的范围为(－7，－ )．
【正解】∵2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角，
∴(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0且2te 1 ＋7e 2 ≠λ(e 1 ＋te 2 )(λ<0)．
∵(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0得2t 2 ＋15t＋7<0，
∴－7 .
若2te 1 ＋7e 2 ＝λ(e 1 ＋te 2 )(λ<0)，
∴(2t－λ) e 1 ＋(7－tλ) e 2 ＝0.
∴
，即t＝－ ，
∴t的取值范围为：－7 且t≠－ .
【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ,则①θ为锐角a·b>0且a, b不同向；②θ为直角a·b=0；③θ为钝角a·b<0且a·b不反向.
2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角⇔(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0.
且t≠－
【错解分析】∵2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角，
∴(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0，
∴2t 2 ＋15t＋7<0，解之得：－7
，∴t的范围为(－7，－
)．【正解】∵2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角，
∴(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0且2te 1 ＋7e 2 ≠λ(e 1 ＋te 2 )(λ<0)．
∵(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0得2t 2 ＋15t＋7<0，
∴－7
.若2te 1 ＋7e 2 ＝λ(e 1 ＋te 2 )(λ<0)，
∴(2t－λ) e 1 ＋(7－tλ) e 2 ＝0.
∴
，即t＝－ ，∴t的取值范围为：－7
且t≠－ .【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ,则①θ为锐角a·b>0且a, b不同向；②θ为直角a·b=0；③θ为钝角a·b<0且a·b不反向.
2te 1 ＋7e 2 与e 1 ＋te 2 的夹角为钝角⇔(2te 1 ＋7e 2 )·(e 1 ＋te 2 )<0.
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