广义积分∫ (正无穷,1) [arctanx/(1+x^2)^3]dx

广义积分∫ (正无穷,1) [arctanx/(1+x^2)^3]dx
答案是3π^2/8 -2
肉ee 1年前 已收到1个回答 举报
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hmjal 幼苗

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做变量替换arctanx=t,原积分化为积分(pi/4到pi/2)(tcos^4tdt)=(倍角公式)1/4积分(pi/4到pi/2)（t(1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dt）＝

1年前 追问

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抽象

举报 hmjal

做变量替换arctanx=t，x＝1对应t＝pi/4，x＝无穷对应t＝pi/2，x=tant，dx＝sec^2tdt，arctanx/(1+x^2)^3dx=tcos^4tdt，原积分化为积分(pi/4到pi/2)(tcos^4tdt)=(倍角公式cos^2t=(1+cos2t)/2)1/4积分(pi/4到pi/2)（t(1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dt），最后计算一下就行。
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