问一道关于多项式的证明题在书上看到这么个结论：任意一个实系数的多项式可以表示为两个递增多项式之差.另外还有三个引申问题：
问一道关于多项式的证明题
在书上看到这么个结论：
任意一个实系数的多项式可以表示为两个递增多项式之差.
另外还有三个引申问题：
①有没有办法直接写出那两个递增多项式是什么,还是只能说明存在无法一般地写出它们的形式?
②还有如果改成复系数多项式不知道会不会有类似结论成立呢?
③这方面的理论大概在什么专门的书中可以见到?
怎么还没有人正式回答一下下的......
就证明一下好了，后面三个问题可以先放放...
在书上看到这么个结论：
任意一个实系数的多项式可以表示为两个递增多项式之差.
另外还有三个引申问题：
①有没有办法直接写出那两个递增多项式是什么,还是只能说明存在无法一般地写出它们的形式?
②还有如果改成复系数多项式不知道会不会有类似结论成立呢?
③这方面的理论大概在什么专门的书中可以见到?
怎么还没有人正式回答一下下的......
就证明一下好了，后面三个问题可以先放放...
赞 hitmenjojo 幼苗
共回答了22个问题采纳率：90.9% 举报
p(x) = an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ a1*x + a0,n > 0
K = n(|an| + |a(n-1)| + ...+ |a2| + |a1| + 1);
q(x) = K*x^(2n+1) + an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ (a1+K)x + a0;
r(x) = K*x^(2n+1) + Kx
(1) p(x) = q(x) - r(x)
(2) q'(x) = (2n+1)K*x^(2n) + nan*x^(n-1) + (n-1)a(n-1)*x^(n-2) + ...+ a1 + K
> n|an|[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-1) ] + n|a(n-1)[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-2)] + ...+ n|a1|(x^(2n) + 1 - 1 ]
> 0.
(3) r'(x) = (2n+1)K*x^(2n) + K > 0
①有办法直接写出那两个递增多项式是 q(x),r(x),
②如果改成复系数多项式 p(z),类似结论不会成立.复数 z 不能比较大小,复数 p(z) 不能比较大小.
③这方面的理论不清楚在什么专门的书中可以见到.
K = n(|an| + |a(n-1)| + ...+ |a2| + |a1| + 1);
q(x) = K*x^(2n+1) + an*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...+ (a1+K)x + a0;
r(x) = K*x^(2n+1) + Kx
(1) p(x) = q(x) - r(x)
(2) q'(x) = (2n+1)K*x^(2n) + nan*x^(n-1) + (n-1)a(n-1)*x^(n-2) + ...+ a1 + K
> n|an|[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-1) ] + n|a(n-1)[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-2)] + ...+ n|a1|(x^(2n) + 1 - 1 ]
> 0.
(3) r'(x) = (2n+1)K*x^(2n) + K > 0
①有办法直接写出那两个递增多项式是 q(x),r(x),
②如果改成复系数多项式 p(z),类似结论不会成立.复数 z 不能比较大小,复数 p(z) 不能比较大小.
③这方面的理论不清楚在什么专门的书中可以见到.
1年前 追问
1
(2) q'(x) = (2n+1)K*x^(2n) + n*an*x^(n-1) + (n-1)*a(n-1)*x^(n-2) + ... + a1 + K > K*[x^(2n) + 1] + n*an*x^(n-1) + (n-1)*a(n-1)*x^(n-2) + ... + a1 > [n(|an| + |a(n-1)| + ... + |a2| + |a1|][x^(2n)+1] + nan*x^(n-1) + (n-1)a(n-1)*x^(n-2) + ... + a1 = n|an|[x^(2n)+1]+n*an*x^(n-1)+n|a(n-1)|[x^(2n)+1]+(n-1)*a(n-1)*x^(n-2)+...+ n|a1|[x^(2n)+1]+a1 >= n|an|[x^(2n)+1]-n|an||x|^(n-1)+n|a(n-1)|[x^(2n)+1]-(n-1)|a(n-1)||x|^(n-2) +...+n|a1|[x^(2n)+1]-n|a1| = n|an|[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-1) ] + n|a(n-1)|[ x^(2n) + 1 - |x|^(n-2)] + ... + n|a1|(x^(2n) + 1 - 1 ] > 0. (n>m ==> If |x|>=1, x^(2n) +1 - |x|^m > x^(2n) - |x|^m > 0; if |x|<1, x^(2n) +1 - |x|^m >= 1-|x|^m > 0. 如果n>m, 则 x^(2n) + 1 - |x|^m > 0. ==> x^(2n) + 1 - |x|^(n-1) > 0, x^(2n) + 1 - |x|^(n-2) > 0, ...)
wangfei688 幼苗
共回答了146个问题 举报
原多项式f(x)为实系数多项式
换个角度考虑
必然存在一个递增足够快的多项式g(x)使F(x)=f(x)+g(x)也为递增多项式
换句话说只要另f'(x)+g'(x)>0和g'(x)>均成立即可
因此这种多项式应该有无数组
②③就不清楚了..没研究过终于有人认真回答了，谢谢! 能不能具体解释一下"递增足够快"，这里的"快"是和什么比较，怎样才能做到"递增...
换个角度考虑
必然存在一个递增足够快的多项式g(x)使F(x)=f(x)+g(x)也为递增多项式
换句话说只要另f'(x)+g'(x)>0和g'(x)>均成立即可
因此这种多项式应该有无数组
②③就不清楚了..没研究过终于有人认真回答了，谢谢! 能不能具体解释一下"递增足够快"，这里的"快"是和什么比较，怎样才能做到"递增...
1年前
1
可能相似的问题
-
1年前1个回答
-
一道错账更正的题，书上答案是ABD，我想问的是C为什么是错的？
1年前1个回答
-
1年前1个回答
-
1年前3个回答
-
1年前1个回答
-
1年前1个回答
-
1年前2个回答
-
1年前3个回答