如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC与BD交于点O,E为侧棱SC上的一点.

如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC与BD交于点O,E为侧棱SC上的一点.
(1)若E为SC的中点,求证:SA∥平面BDE;
(2)求证:平面BDE⊥平面SAC;
(3)若正方形ABCD边长为2,求四棱锥SABCD的体积.
tayarcy 1年前 已收到1个回答 举报

douglaszhu 幼苗

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解题思路:(1)利用线面平行的判定定理判断.(2)利用面面垂直的判定定理证明.(3)利用锥体的体积公式求体积.

(1)连结OE,因为E,O分别是SC,AC的中点,所以OE∥SA,
因为OE⊂面BDE,SA⊈面BDE,所以SA∥平面BDE;
(2)因为四棱锥SABCD中,四个侧面都是等边三角形,所以SA=SC,SD=SB,
所以SO⊥AC,S0⊥BD,
又底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
因为S0∩AC=O,
所以BD⊥平面SAC;
又BD⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面SAC;
(3)由(2)知SO⊥AC,S0⊥BD,
所以SO⊥平面ABCD;即SO是四棱锥SABCD的高.
因为正方形ABCD边长为2,所以SB=2,OC=
2,
所以SO=
SB2−OC2=
22−2=
2.
所以四棱锥SABCD的体积为
1
3×22×
2=
4
2
3.

点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

考点点评: 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定,要求熟练掌握相应的判定定理.

1年前

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