已知椭圆x28+y22=1经过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0).

已知椭圆
x2
8
+
y2
2
=1
经过点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0).
(1)当m=3时,判断直线l与椭圆的位置关系(写出结论,不需证明);
(2)当m=3时,P为椭圆上的动点,求点P到直线l距离的最小值;
(3)如图,当l交椭圆于A、B两个不同点时,求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
宋gg 1年前 已收到1个回答 举报

toplinks1314 春芽

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解题思路:(1)当m=3时,直线l与椭圆相离.
(2)直线l的斜率为[1/2],设直线a与直线l平行,且直线a与椭圆相切,设直线a的方程为y=
1
2
x+b
…(3分)联立
y=
1
2
x+b
x2
8
+
y2
2
=1
,得x2+2bx+2b2-4=0…(4分),故△=(2b)2-4(2b2-4)=0,解得b=±2,由此能求出点P到直线l距离的最小值.
(3)由
y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
,得x2+2mx+2m2-4=0,设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可.

(1)当m=3时,直线l与椭圆相离.…(2分)
(2)可知直线l的斜率为[1/2],
设直线a与直线l平行,且直线a与椭圆相切,
设直线a的方程为y=
1
2x+b…(3分)
联立

y=
1
2x+b

x2
8+
y2
2=1,得x2+2bx+2b2-4=0…(4分)
∴△=(2b)2-4(2b2-4)=0,解得b=±2(5分)
∴直线a的方程为y=
1
2x±2.
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线y=
1
2x+3的距离…(6分)
d=
3−2

12+(
1
2)2=
2
5
5.…(7分)
(3)证明:由

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆锥曲线的关系.

考点点评: 本题考查直线l椭圆的位置关系的判断,求点到直线距离的最小值,证明两直线与x轴始终围成一个等腰三角形.综合性强,难度大,有一定的探索性,是高考的重点.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

1年前

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