已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ 1 2 ，且 f( 1 2 )=0

（1）令 x=y=
1
2 ，则 f(1)=f(
1
2 )+f(
1
2 )+
1
2 ，∴ f(1)=
1
2 ，
则当 n∈ N * ，f(n+1)=f(n)+f(1)+
1
2 ，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首项为
1
2 ，公差为1的等差数列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=
1
2 n+
n(n-1)
2 =
n 2
2 ；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x ₁ ＜x ₂ ，x ₁ ，x ₂ ∈R，
f（x ₂ ）-f（x ₁ ）=f（x ₂ -x ₁ +x ₁ ）-f（x ₁ ）= f( x 2 - x 1 )+f( x 1 )+
1
2 -f( x 1 )
= f( x 2 - x 1 )+f(
1
2 )+
1
2 =f( x 2 - x 1 +
1
2 ) ，
∵x ₂ ＞x ₁ ，∴ x 2 - x 1 +
1
2 ＞
1
2 ，
由于当 x＞
1
2 时，f（x）＞0，
∴ f( x 2 - x 1 +
1
2 )＞0 ，即f（x ₂ ）＞f（x ₁ ），
∴f（x）在R上是增函数．