设A、B为两个n阶方阵,且A的n个特征值互异,若A的特征向量恒为B的特征向量,证明AB=BA.

小可可拽 1年前 已收到1个回答 举报

倾cc倾城的如花 幼苗

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解题思路:首先,由A的n个特征值互异,则A由n个互异的特征向量,A也可以对角化,且对角矩阵的对角线上元素为相应的特征值组成的;然后由A的特征向量恒为B的特征向量,得出B也同样对角化;最后,再得出AB=BA.

证明:设P1,P2,…,Pn为A的n个互异的特征向量,则P=(P1,P2,…,Pn)必可逆.
设λ1,λ2,…,λn为A对应的特征值,μ1,μ2,…,μn为B对应的特征值,
则A和B都可以对角化,且由于A与B特征向量相同,有
A=Pdiag(λ1,…,λn)•P−1,
B=Pdiag(μ1,…,μn)•P−1.
∴AB=Pdiag(λ1,…,λn)diag(μ1,…μn)•P−1
=Pdiag(μ1,…,μn)diag(λ1,…,λn)P−1=B•A.

点评:
本题考点: 矩阵的特征值和特征向量的性质;矩阵可相似对角化的充分必要条件.

考点点评: 此题考查矩阵特征值和特征向量的性质以及矩阵对角化的条件,是基础知识点.

1年前

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