（2011•江苏模拟）已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x
（2011•江苏模拟）已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是______．
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解题思路：先对函数f（x）进行求导，又根据f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到关于m，n的值，代入函数f（x）可得f'（x），当f'（x）＜0时x的取值区间为减区间，从而解决问题．
由已知条件得f'（x）=3mx2+2nx，
由f'（-1）=-3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x3+3x2，∴f'（x）=3x2+6x．
令f'（x）＜0，即x2+2x＜0，
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则实数t的取值范围是[-2，-1]
故答案为[-2，-1]．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程．属于基础题．
1年前
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