如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB上,点N在AC边上,并且∠MDN=90°.如果BM^2+CN^2

如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB上,点N在AC边上,并且∠MDN=90°.如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2,求证:AD^2=1/4(AB^2+AC^2)
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qiutian2016 1年前 已收到1个回答 举报

正版马龙 花朵

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延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点,DE=DN,可证△BED全等于△CND(SAS)
得∠DBE=∠C,BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半)
所以AB^2+AC^2=(2AD)^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)

1年前

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