数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =2， S n = 1 2 a n+1 -1 （n∈N * ）．

（Ⅰ）∵a ₁ =2， S n =
1
2 a n+1 -1 （n∈N ^* ），
∴当n=1时， S 1 =
1
2 a 2 -1= a 1 =2 ，
解得a ₂ =6．
当n=2时， S 2 =
1
2 a 3 -1=2+6=8 ，
解得a ₃ =18．
（Ⅱ）∵a ₁ =2， S n =
1
2 a n+1 -1 （n∈N ^* ），
∴当n≥2时， S n =
1
2 a n+1 -1 ， S n-1 =
1
2 a n -1 ，
∴ a n = S n - S n-1 =
1
2 a n+1 -
1
2 a n ，
即a _n+1 =3a _n ．
对于a ₂ =3a ₁ 也满足上式，
∴数列{a _n }是首项为2，公比为3的等比数列，
∴ a n =2• 3 n-1 (n∈ N * ) ．
（ III）∵ a n =2• 3 n-1 (n∈ N * ) ，
∴ n a n =2n• 3 n-1 ，
∴ T n =2•1+4•3+6• 3 2 +8• 3 3 +…+2n• 3 n-1 ，
3 T n =2•3+4• 3 2 +6• 3 3 +8• 3 4 +…+2n• 3 n ，
相减得， -2 T n =2(1+3+ 3 2 + 3 3 +…+ 3 n-1 )-2n• 3 n
= 2•
1- 3 n
1-3 -2n• 3 n
=3 ⁿ -1-2n•3 ⁿ ，
∴ T n =
(2n-1)• 3 n +1
2 ．