1、正方形ABCD-A'B'C'D',棱长a,P为A'B'中点,Q为BC'上的动点,则PQ长的最大值

1.作QQ'⊥B'C'于Q'
设BQ'=x,PQ=y
B'Q'=a-Q'C'=a-x PB'=a/2
y^2=x^2+a^2/4+(a-x)^2
=(1+a^2/4)x^2-a^3x/2+a^4/4 （1）
y'=(1/2)[(1+a^2/4)x^2-a^3x/2+a^4/4]^(-1/2)[2x(1+a^2/4)-a^3/2]
令y’=0
2x(1+a^2/4)-a^3/2=0
x=a^3/[4+a^2]
代入（1）,得：y=a^2/√(4+a^2)
2.AB＝3根号2,AD＝2根号3,BD＝根号6
AB^2=AD^2+BD^2 ABD与CBD为直角三角形,BD⊥AD,BC⊥BD
作AA'⊥BCD平面,垂足为A'
∵BD⊥AD ∴A'D⊥BD且∠ADA'为所求
∵AB⊥CD ∴A'B⊥CD
则∠DBA'=∠BCD RtΔDBA'∽RtΔBCD
DA'/BD=BD/BC cos∠ADA'=DA'/AD=1/2
∠ADA'=60º即二面角A－BD－C为60º
AA'=ADsin60=3 A到平面BCD的距离为3
C到平面ABD的距离=A到平面BCD的距离=3
3.设棱长为a
作三角形CDB底边BD上的高CE
在三角形EAC中,AE=CE=√3a/2,∠CAE=∠ACE
作CO'⊥ABD,球心O在CO'上,O'在AE上.
OA=OC,∠OCA=∠OAC ∴∠OAE=∠OCE 则∠AOO'=∠CEA
sin∠CEA/2=(a/2)/√3a/2=√(1/3)
sin∠CEA=2√2/3=AO'/AO=CO'/CE
∴AO'=2√2/3 a=2√6/3
sin∠AOB/2=(a/2)/1=√6/3
cos∠AOB=1-2(sin∠AOB/2)^2=-1/3
∠AOB=arc cos(-1/3) ∠AOB为钝角
AB球面距离=1*arccos(-1/3) =arc cos(-1/3)