已知f(x)=(1+2x−1)−2(x>1).

已知f(x)=(1+
2
x−1
)−2(x>1)

(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)的解析式及其定义域;
(2)判断函数f-1(x)在其定义域上的单调性并加以证明;
(3)若当x∈(
1
16
1
4
]
时,不等式(1−
x
).f−1(x)>a(a−
x
)
恒成立,试求a的取值范围.
woshiliuyun 1年前 已收到1个回答 举报

ghostman 幼苗

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解题思路:(1)将x,y互换,解得y即可.
(2)用单调性定义证明,先任取两变量,界定大小,再作差变形看符号.
(3)将反函数代入,整理为不等式
x
(1+a)>a2−1
恒成立求解,注意讨论.

(1)令y=x,则有x=(1+
2
y−1)−2
解得:f−1(x)=
1+
x
1−
x(x∈(0,1));(4分)
(2)设0<x1<x2<1,则f−1(x1)−f−1(x2)=
1+
x1
1−
x1−
1+
x2
1−
x2=
2(
x1−

点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题;反函数.

考点点评: 本题主要考查如何求函数的反函数,单调性定义证明及不等式恒成立问题.

1年前

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