甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏比赛，比赛随

解题思路：（1）以P（ξ=k）记比赛经k次结束的概率，若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有P（ξ=k）=0，考虑两次比赛结果：①甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的再次，②甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，分别求出相应的概率，比赛以k次结束，k必为偶数，则1，2两次，3，4两次，…，k-3，k-2两次均未分胜负，从而求出P（ξ=k），列出分布列，利用数学期望公式解之即可；
（2）令2pq=x，根据Eξ=（1-x）

4

i＝1

2ixi−1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=

2(1−x5)

1−x

，以及则0＜x≤[1/2]，求出Eξ的取值范围．

（1）以P（ξ=k）记比赛经k次结束的概率，
若k为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数，因而有P（ξ=k）=0．
考虑两次比赛结果：
①甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的再次，结果出现的概率为p²+q²；
②甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq．
比赛以k次结束，k必为偶数，则1，2两次，3，4两次，…，k-3，k-2两次均未分胜负．
若k≠10，则第k-1，k两次为有胜负的两次，从而有
P（ξ=k）=(2pq)
k
2−1（p²+q²）．
若k=10，比赛必须结束，所以P（ξ=20）=（2pq）⁴．
ξ其分布表为

ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P 0 p²+q² 0 2pq （p²+q²） 0 4 p²q ² （p²+q²） 0 8 p³q ³ （p²+q²） 0 16 p⁴q ⁴综上所述Eξ=（p²+q²）
4

i＝12i(2pq)i−1+10（2pq）⁴．
（2）令2pq=x，则0＜x=2pq≤[1/2]（p+q）²=[1/2]，
Eξ=（1-x）
4

i＝12ixi−1+10x4=2（1+x+x²+x³+x⁴）=
2(1−x5)
1−x
∵0＜x≤[1/2]，且Eξ随x增加而增加，所以2＜Eξ≤[31/8]．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差．

考点点评： 本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，以及分类讨论的数学思想，同时考查了运算求解的能力，这也是高中常见的题型，解题时认真细致，属于中档题．