已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n

解题思路：因为的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，所以利用导函数的几何含义可以求出b=1，所以数列 {

1

f(n)

}的通项公式可以具体，进而由数列的通项公式选择求和方法即可求解．

∵函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²-bx求导得：f′（x）=2x-b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2-b=3⇒b=-1，
∴f（x）=x²-x，
所以f（n）=n（n-1），
∴数列 {[1
f(n)}的通项为
1
f(n)=
1
n(n−1)=
1/n−1−
1
n]，
所以[1
f(n)的前n项的和即为T_n，
则利用裂项相消法可以得到：
Tn=（1-
1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+（[1/3]-[1/4]）+…+（[1/n−1]-[1/n]）=1-[1/n]
所以数列的前2011项的和为：T₂₀₁₁=1-[1/2011]=[2010/2011]．
故答案为：[2010/2011]．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查了导函数的几何含义及方程的思想，还考查了利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法．