已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2).

已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2).
(Ⅰ)求圆C方程;
(Ⅱ)点M(0,1)与点N关于直线x-y=0对称.是否存在过点N的直线l,l与圆C相交于E、F两点,且使三角形S△OEF=2
2
(O为坐标原点),若存在求出直线l的方程,若不存在用计算过程说明理由.
hysea 1年前 已收到1个回答 举报

五月雨点 幼苗

共回答了20个问题采纳率:95% 举报

解题思路:(Ⅰ)过切点P(3,2)且与x+y-1=0垂直的直线为y=x-5,与直线y=-4x联立,解得圆心为(1,-4),由此能求出圆的方程.
(Ⅱ)设N(a,b),由点M(0,1)与点N关于直线x-y=0对称,得N(1,0),当斜率不存在时,直线l方程为x=1,满足题意;当斜率存在时,设直线l的方程为 y=k(x-1),由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k.从而所求的直线方程为x=1.

(Ⅰ)过切点P(3,2)且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,即y=x-5.(1分)
与直线y=-4x联立,解得圆心为(1,-4),…(2分)
所以半径r=
(3−1)2+(−2+4)2=2
2
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.…(4分)
(Ⅱ)设N(a,b),∵点M(0,1)与点N关于直线x-y=0对称,



b+1
2=
a
2

b−1
a=−1⇒a=1,b=0,∴N(1,0)…(5分)
注意:若没证明,直接得出结果N(1,0),不扣分.
(1)当斜率不存在时,此时直线l方程为x=1,
原点到直线的距离为d=1,同时令x=1,
代人圆方程得y=-4±2
2,
所以|EF|=4
2,所以S△OEF=
1
2×1×4
2=2
2满足题意,
此时方程为x=1.…(8分)
(2)当斜率存在时,设直线l的方程为 y=k(x-1),即kx-y-k=0
圆心C(1,-4)到直线l的距离d=
|k+4−k|

k2+1=
4

k2+1,…(9分)
设EF的中点为D,连接CD,则必有CD⊥EF,
在RtCDE中,DE=
8−d2=
8−
16
k2+1=
2
2
k2−1

k2+1
所以EF=
4
2
k2−1

k2+1,…(10分)
而原点到直线的距离为d1=
|k|

k2+1,
所以S△OEF=
1
2•
4
2
k2−1

k2+1•
|k|

k2+1=
2
2|k|
k2−1
k2+1=2
2,…(12分)
整理得3k2+1=0,不存在这样的实数k.
综上所述,所求的直线方程为x=1.…(14分)

点评:
本题考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系.

考点点评: 本题考查圆的方程的求法,考查满足条件的直线是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.

1年前

2
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.025 s. - webmaster@yulucn.com