紫色的浪漫71 春芽
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(Ⅰ) 不论点E在何位置,都有BD⊥AE …(1分)
证明:连接AC,由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC.
∵PC⊥底面ABCD 且BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PC.…(3分)
又∵AC∩PC=C,
∴BD⊥平面PAC.
∵不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC,
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.…(5分)
(Ⅱ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.…(7分)
设点C到平面PDB的距离为d,
∵VP-BCD=VC-BPD,
∴[1/3S△BCD•PC=
1
3S△BPD•dPD=PB=
5],BD=
2,
∴S△BPD=
3
2,S△BCD=
1
2∴d=
2
3---------------------------(10分)
(Ⅲ)以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
从而
DE=(-1,0,1),
DA=(0,1,0),
BA=(1,0,0),
BE=(0,-1,1)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
m=(a,b,c),
n=(a′,b′,c′)
由法向量的性质可得:-a+c=0,b=0,a'=0,-b'+c'=0
令c=1,c'=-1,则a=1,b'=-1,
∴
m=(1,0,1),
n=(0,-1,-1)
设二面角D-AE-B的平面角为θ,则 cosθ=
m•
n
|m|•|
n|=-
1
2
∴θ=
2π
3.
点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;用空间向量求平面间的夹角.
考点点评: 本题主要考查线面垂直、点到平面的距离与二面角的求法,解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,进而便于得到点、线、面的位置关系,也可以利用建立空间坐标系求解二面角、空间距离或者判定线面的位置关系.
1年前
你能帮帮他们吗
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