老师,线性代数的问题,行列式A^2=KA,（K不等于0）,R(A)=1,A的迹不等于0,证A可以对角化

老师,线性代数的问题,行列式A^2=KA,（K不等于0）,R(A)=1,A的迹不等于0,证A可以对角化
老师,如果这题告诉说A的迹等于K,那可以求,如果像题中没说A的迹等于多少,那该怎么求呢
hunjun123 1年前 已收到1个回答 举报
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小犬之猎人 幼苗

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因为 A^2=KA
则A的特征值λ满足 λ^2=Kλ
所以 λ=0 或 K(≠0)
即A的特征值只能是0,K
-- 注意K一定是A的特征值, A的非零列向量都是属于K的特征向量
由于 R(A)=1, 所以属于特征值0的线性无关的特征向量有 n-1 个
故 A 有n个线性无关的特征向量(加上属于K的一个)
所以A可对角化

1年前 追问

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hunjun123 举报

老师，为什么秩等于一，他的特征值中就只有一个非零的，如果说现在已知可对角化，那么秩等于一，特征值只有一个非零我就知道，但是现在还没说他能对角化

举报 小犬之猎人

秩等于1时, Ax=0 的基础解系含 n-R(A)=n-1 个线性无关的特征向量
说明 0 至少是A的n-1重特征值
所以A至多有一个非零特征值
事实上, 当R(A)=1时, A可以表示为一个列向量与一个非零行向量的乘积 αβ^T
它的特征值为 β^Tα, 0,0,...,0
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