（2006•莱芜）半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在AB上运动，过点

（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵[1/2]AC•BC=[1/2]AB•CD
∴CD=[12/5]，PC=[24/5]
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴[AC/BC=
PC
CQ]，
∴CQ=[BC•PC/AC]=[4/3]PC=[32/5]．

（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．


∵P是弧AB的中点，
∴∠PCB=45°，CE=BE=

2
2BC=2
2
又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=[4/3]
∴PE=[BE/tan∠CPB=
3
4]BE=
3
2
2，PC=
7
2
2
而从（1）中得，CQ=[4/3]PC=
14
2
3．

（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=[BC•PC/AC]=[4/3]PC；
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为[20/3]．

点评：
本题考点： 圆周角定理；三角形的面积；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题属于常规的几何综合题，利用了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正切的概念求解．解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论．

1年前

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