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1.叙述并证明不动点定理。不动点定理: 设f： [0,1]→[0,1]是一个连续映射，则存在z∈[0,1]使得f（z）=z.证 如果f（0）=0或者f（1）=1，则定理显然成立.下设f（0）>0和f（1）<1.定义映射F：[0,1]→R 使得对于任何x∈[0,1]有F（x）=x-f（x）.容易验证F是一个连续映射，并且这时有F（0）<0和F（1）>0.因此根据介值定理可见存在z∈[0,1]使得F（z）=0，即f（z）=z.2.设X、Y、Z都是拓扑空间，如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间.证 当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有 ;并且若设０为X的拓扑时,Z的拓扑是（O∣ｙ）∣ｚ＝｛Ｕ∩Ｙ∣Ｕ∈０｝∣ｚ＝｛Ｕ∩Ｙ∩Ｚ∣Ｕ∈０｝＝｛Ｕ∩Ｚ∣Ｕ∈０｝＝０∣ｚ因此Ｚ是Ｘ的一个子空间。3.分类讨论平庸空间中的凝聚点和导集.设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论：第一种情形:A=